昨天在MATRIX67神牛的BLOG上看了一篇关于超级幂的东西。后来不知道怎么不知不觉就开始想考虑$y=x^{x}$这个函数的问题了。

上高中的时候其实想过这个问题。也似乎明白这个函数的图开始在$[0,1]$这个区间上的时候会有一些下降的趋势，但是因为能力有限，没有学到导数的一些高级的求法，所以也就没有再探求下去。

又提起来这个函数，我觉得要稍稍搞一下了。于是用几何画板花了以下这个$f(x)=x^{x}$的图：

由于在负数的里面有不合法的地方，所以在图像上就没有表示，实际上底数上还是应该有一些离散的点的，至少我这么意味吧。

正如这个图像所知的，是有一个最低点的。一开始我并没有想到怎么去求。于是就开始回忆，后来回忆到似乎可以用数列的方法来逼近最低点。但是发现是一个恒等式：

然后我就开始了白痴的两边用自然对数去变形，变形后整理发现出现了这样的形式：

这明显就是一个恒等式。这时我才意识到不太对。于是我就开始用计算机来逼近这个东西，最后发现在0.36~0.37之间。本来就想研究到这里算了，后来发现了这个页面：

http://www.analyzemath.com/calculus/Differentiation/first_derivative.html

这个页面是讲$y=x^{x}$的求导方法。我略略的一看，哎呀~这不就是当年的求导方法里面的一个最常用的方法么？（顺便提一下上面的网站，是一个解决数学问题的英文站）

于是产生了下面的运算：

对等式两边用自然对数变形:

两边同时求导:

因为$y=x^{x}$;

所以:

此时使$\ln x+1=0$即可使导数等于0，即最低点位置。所以求的$x=\frac{1}{e}$;

其实这篇BLOG比较无聊，主要是这种方法觉得应该拿出来讲一讲。在求最低点走投无路的时候，不妨拿起来看一看。。